強度的近似計算
強度的近似計算
在制品設計(特別是對受力構件的設計)中，往往要對所設計構件的強度進行分析評價，為此需進行強度計算。這種強度計算主要是預測構件的強度與剛度，特別是拉伸強度與拉伸彈性模量。在進行分析計算時，由于影響復合材料的力學性能的可變因素較多，因而不容易作精確的計算，往往只是近似計算。
影響復合材料強度的可變因素主要有：
①纖維與樹脂基體各自的力學性能；
②纖維在復合材料中所占的比例；
?、劾w維與樹脂基體的界面粘接程度；
?、芾w維的橫斷面狀況；
?、堇w維在樹脂基體中的分布狀況。
在分析計算中必須將某些變化因素恒定，而著重對一些宏觀上變動較大、對性能影響突出的因素進行分析與演算。
1 單向連續纖維復合材料的強度計算
為簡便計算，設定：
?、倮w維在整個復合材料中均勻分散，完全平行，并連續分布于樹脂基體之中；復合材料中無氣泡、無空隙和無雜質。
?、诶w維與樹脂基體界面始終處于完善粘接狀態。
?、劾w維與樹脂基體的變形是彈性的，其應變相等。
這種單向復合材料的模型見圖12-26。
對這種簡單的復合材料模型可用混合定律進行分析。混合定律說明：復合材料所承擔的負荷是其組成部分分別承擔負荷的總和。
如以Lc表示復合材料所承擔的負荷，Lf表示纖維所承擔的負荷，Lm表示樹脂基體所承擔的負荷，則有：
設Ac為復合材料的斷面積，Af為纖維斷面積之和，Am為樹脂基體斷面積；又以
分別表示復合材料、纖維與基體中的拉應力，則式(12-1)可寫成：
已假定Af、Am為常數，Ac=Af+Am。
設Uf、Um分別表示玻璃纖維和基體在整個復合材料中所占的體積分數。已設定纖維、基體與復合材料的變形相同，其長度始終相同，故有：
（12-3）
由于已假定纖維與樹脂界面完全粘接，其應變相等，即：
式中，
為復合材料、纖維、基體的應變。
于是：
（12-4）
式中，Ef、Em為纖維、基體的拉伸彈性模量。
根據式(12-2)、式(12-3)、式(12-4)可得混合定律的兩個基本表達式：
式(12-5)、式(12-6)即為復合材料的拉伸強度與拉伸彈性模量的計算式。但上兩式中Uf應有小限度，因為玻璃纖維在復合材料中含量過小時，纖維不足以限制基體的伸長，結果在受力時纖維會迅速達到斷裂應力而被破壞。
式(12-5)、式(12-6)是復合材料計算中簡單的公式，在通常情況下有一定的可靠性。但因它們未考慮纖維強度在統計上的離散性以及纖維在顯微結構上的缺陷，故計算與實測有偏差。為此，有時引入修正系數β(或稱基體的有效系數)對計算式加以修正。β值的大小視具體條件確定，一般為l～2，于是得下式：
式中， 
為紗股的拉伸強度與拉伸彈性模量。
將復合材料中纖維與基體所承擔的負荷相比得：
由式(12-9)可見，為了使不飽和聚酯樹脂得到有效的增強，必須滿足兩個條件：
①纖維的拉伸模量必須比基體的拉伸模量大得多，即Ef>>Em。
?、诶w維的體積分數(即Uf)要盡可能增大。
在以上各式中都采用Uf(即玻璃纖維在復合材料中的體積分數)進行計算。但實際生產中常用的“玻璃纖維含量”是玻璃纖維的質量分數，可通過下式換算成纖維的體積分數：
式中
2 平面雙向垂直分布的連續纖維復合材料的強度計算
這種平面雙向垂直分布即為各種玻璃布按不變角度的經緯向鋪層疊合增強的玻璃鋼制品。這種制品必須由壓力成型才能保證層間的密實性，否則層間的空隙與分層現象是難免的。為了簡化計算，除了上節中已假定的條件外，再假定各層玻璃纖維之間無交叉，同層纖維全部呈平行狀態，相鄰層纖維互相垂直。即將玻璃布按垂直鋪放的兩層單向布來考慮，于是得這種復合材料的模型(圖12-27)。
以小寫字母l表示縱向，t表示橫向。設σcl、σct為復合材料的縱向拉應力與橫向拉應力，Sfl、Sft為復合材料中縱向纖維與橫向纖維所占的截面積比例。顯然Sfl與Sft受纖維在復合材料中的含量叫Wf (質量分數)、Uf(體積分數)以及玻璃布經密度、緯密度變化的影響。
設玻璃布經紗、緯紗支數相同，經密度、緯密度之比為(l:t)，即可推算Sfl、Sft與Wf、（l:t）之間的關系式。
取復合材料的單元模型如圖12-27所示，其高度為2a，寬度、長度為la(圖12-27中l:t=4:3 )，設玻璃纖維單股紗截面積為b，可得：
纖維總體積
復合材料單元總體積
纖維在復合材料中體積含量為：
于是得：
由此可見，經向纖維或緯向纖維在復合材料中所占面積的比例與經紗或緯紗在經紗、緯紗總數中所占的比例成正比。根據混合定律，可分別列出復合材料縱向拉應力、橫向拉應力以及拉伸彈性模量計算式．
式(12-13)～式(12-16)即為平面雙向垂直連續纖維復合材料的拉伸強度與拉伸彈性模量的計算式。
以下按式(12-13)～式(12-16)舉例估算這種復合材料的拉伸強度。
設玻璃纖維相對密度2.54，拉伸強度1700MPa(中堿纖維)，聚酯樹脂固化后相對密度1.27，拉伸強度40MPa。
?、俨捎闷郊y方格布，l:t=1:1。
?、诟挠玫珕蜗虿?，l：t=4：1?！?/P>
Wf=50％，
其他強度計算與模量計算依此類推。
可見雙向垂直玻璃鋼的經向、緯向強度受玻璃含量以及纖維在經向、緯向分布變化的影響甚大。
3 隨機分布的短纖維復合材料的強度計算
隨機分布的短纖維復合材料是各向同性的，團狀模塑料制品、片狀模塑料制品以及短切纖維增強復合材料制品即屬于此類。此時，復合材料中主要承擔力學性能的玻璃纖維是無規則分布的短纖維，其應力分布情況比較復雜。以下就纖維的臨界長度以及纖維排向的有效系數兩個方面進行分析。
(1)纖維的臨界長度 短纖維增強和連續纖維增強的本質不同點是：短纖維主要通過端部樹脂基體的變形，將應力傳遞到其他纖維上去；連續纖維則主要是通過平行纖維之間的樹脂基體的變形實現應力的互相傳遞。因此短纖維所承擔的平均拉應力即小于連續纖維的斷裂拉應力，而且纖維與基體之間的剪切應力起更大的作用。當負荷超過界面剪切強度時，短纖維即由基體中滑脫，使復合材料遭到破壞，于是產生“臨界纖維長度”概念。
臨界纖維長度可定義為：達到連續纖維相同的拉伸斷裂強度所需的短纖維的小長度。短纖維的長度太于臨界長度時，可以達到連續纖維同樣的斷裂強度，但平均應力仍小于連續纖維的極限應力。短纖維長度小于臨界長度時，纖維強度實際上達不到連續纖維的斷裂強度值。圖12-28為短纖維的應力曲線。
由圖12-28可見，拉應力在短纖維的每個長度的兩端，有一部分其承擔的應力小于連續纖維的大應力。在臨界長度lc上，恰好兩端應力逐漸增加到連續纖維的斷裂強度值。圖12-28中當l>lc時，ab與cd為兩個端部，其應力σfl值由零逐漸上升到連續纖維的大應力σfu。bc段可達到連續纖維的斷裂強度。
當l>lc時，設兩端ab、cd均為
。l＜lc時，兩端部均小于。設a為上方應力分布曲線下的面積與連續纖維同長度時相應面積之比值，即：
于是可得兩端部中平均應力為：
一般地．短纖維達到斷裂時，平均應力可表達為：
在復合材料中，短纖維的強度可簡化表達為以下3種情況。
?、倮w維長度超過臨界長度(l＞lc)
?、诶w維長度等于臨界長度(l=lc)
③纖維長度小于臨界長度(l＜lc)，此時纖維與樹脂基體界面剪應力τ與纖維直徑df的影響較大。
實際上，在這種短纖維隨即分布的SMC、BMC等材料中，纖維表面的浸潤劑類型對臨界長度lc的影響很大?？扇苄越檮┦估w維分散于基體之中；不溶性浸潤劑則使纖維保持紗股的集束狀態。于是產生復合材料中增強單元的直徑不同，其長度與直徑比比值（即線徑比）不同，結果使臨界長度發生較大差異。例如，可溶性纖維直徑為10μm，則不溶性纖維束相應的有效直徑為300μm，前者臨界長度為0.14mm，后者臨界長度為4mm。
在實際生產中，增大纖維長度，可以得到較高的制品強度，但不利于成型過程中材料的流動性。采用較短的纖維，在異型及有限構型的模具中材料易于流動及互相穿透，制品性能較均勻。
(2)纖維的排向有效系數 以上所分析的纖維強度均屬纖維處于負荷方向上的應力分析。當纖維處于與受力方向成一個θ夾角時，其應力分析如下。
設纖維斷面積為 
，偏離θ角后，在受力方向上斷面積
為：
由于纖維是隨機分布的，θ也是任意值，于是可引出纖維的排向有效系數η為：
式中，Af為纖維的斷面積總和。
由式(12-21)可見，排向有效系數η表達了復合材料中纖維排向偏離受力方向的程度。
在不同的復合材料結構中，纖維的排向有效系數見表12-14。
根據η值，對隨機分布的復合材料的強度計算，可以先按平行方向進行計算，然后將計算結果折算為各種不同方向分布的強度值，得到近似的結果。
各種不同的纖維布向產生的復合材料，也具有不同的應力-應變曲線。見圖12-29。
4 纖維增強聚酯材料的相對密度
纖維增強聚酯材料的相對密度隨玻璃鋼纖維含量不同而變化?？砂聪率接嬎悖?/P>
式中
為簡化計算，取
則式（12-22）可簡化為：
一般ρf為定值，由不同的Wf值可以很快計算得ρc的近似值。
例如：
5 混合定律的近似性
以上所述的強度計算方法是以簡單的混合定律為基礎進行計算的。如前所跡，混合定律的前提是假定纖維、基體和界面三者都處于理想狀態，而且在受力下均為彈性體，應變相等。這種假定在實際上是不可能達到的，因而計算是近似的，評價和預測所設計的復合材料構件的力學性能時可作參考。計算結果與實際的近似與偏差情況示于圖12-30。
由于纖維增強聚酯這種復合材料發展很快，有關其力學分析與計算方法也有許多新的進展，可以進行較準確地計算。對此有不少專門文獻資料和書刊作了介紹，在此不多敘述。
