復合材料層合板孔邊應力場的有限元計算
摘 要：纖維增強復合材料具有較高的比強度、比剛度和比模量，在航空航天領域得到越來越廣泛的應用。層合板是復合材料在工程結構中應用的主要形式。對于含孔的層合板結構，由于材料的各向異性以及孔的影響，其應力分布比較復雜，采用數值解是較好的選擇。本文基于層合板的可設計性特點，綜合考慮鋪層角度、鋪層順序等對層合結構的影響，設計出了一種二十四層對稱層合板。以有限元方法為基礎，借助ANSYS分析工具，對該層合板含孔結構的孔邊應力重點分析，得出了不同鋪層角度鋪層中應力分布的云圖和孔邊應力分布曲線。本文結論對復合材料層合板優化設計和帶孔層合結構的應力計算具有較好的參考價值。
1 引 言
工程結構中為了滿足各種需要，在零件或構件上會有一些孔洞存在。在載荷作用下孔邊會產生局部高應力區域，這種現象稱為應力集中。應力集中的產生削弱了零件整體的結構強度，工程中一般會通過增加孔周圍材料的厚度來彌補孔引起的強度削弱。這對于重量不敏感的結構來說是一種簡便有效的方法，但是對于飛行器來說，飛行器工程師們一直在為減輕每一千克質量而努力，很多孔結構本身就是為了減輕結構重量而存在的，因而依靠增加材料來提高結構強度的這種方法顯然是不適用的。
目前，根據國內外對復合材料的研究發現，通過合理布置分層材料的特性和合理設計鋪層方向角能有效減弱孔邊的應力集中。當今復合材料在航空航天領域得到越來越廣泛的應用，航空航天領域所應用的復合材料結構主要是層合板。層合板可設計性強，可制成多種結構形式，并可采用多種工藝方法成型。層合板設計主要包括選取合適的鋪層角，確定各鋪層角鋪層的百分比和鋪層順序三方面。綜合考慮這三方面因素的影響，本文設計出一種二十四層對稱鋪設含圓孔層合板，運用有限元法通過數值模擬計算得出孔邊的應力場分布，觀察各層應力分布，繪制相應的應力曲線，對比分析鋪層角度不同層上的應力，探討鋪層角對應力分布的影響。對以上結論作出綜合評價，探索一種具有現實指導價值的復合材料層合板帶孔結構的優化設計方案。
2 力學模型
本文選用的是ANSYS單元庫中自帶的Shell99單元來模仿復合材料的鋪層結構，該單元的幾何結構示意圖如下所示。
[-page-]
由圖可知，該單元是一種8節點3D殼單元，每個節點有6個自由度。允許設置小于250層的鋪層，主要適用于薄型到中等厚度的板和殼結構，一般要求寬厚比大于10。本文模型均滿足以上要求，因此選用該單元是正確的。
Shell99單元的形函數表述為將位移函數表示成節點位移的函數：
其中，Ni為節點插值函數：ui,vi,wi為節點位移;r為厚度坐標;ti為節點i處厚度；a、b為單位向量；θx,i、θy,i為節點i處的轉角；N為形函數，其矩陣形式為：
構造單元節點位移列陣：
則單元位移：
平面問題的幾何方程：
將式（4)代入式（5)得到單元應變：
[-page-]
其中，B為應變矩陣；L為平面問題的微分算子。
物理方程：
將式（6)代入式（7）得到單元應力：
其中，S為應力矩陣。
利用小位能原理建立有限元方程泛函總位能：
將式(4)和式(6)代入式（9）得到離散模型的總位能：
引入單元節點自由度和結構節點自由度的轉換矩陣G：
則：
令：
[-page-]
上式中，Ke為單元剛度矩陣；Pe為單元等效節點載荷列陣。
將以上各式代人式（10）可得：
令：
其中，K和P分別稱之為結構整體剛度矩陣和結構節點載荷列陣。
則式（11)變為：
根據變分原理，對泛函取駐值得：
即得到有限元的求解方程：
3 計算和結果分析
本文建立的有限元模型為如圖2所示的1/4板孔模型，所設計的二十四層對稱鋪設的層合板結構為：[45/02/-45/02/45/90/-45/02/45]s。每一鋪層的厚度為0.01mm。板的尺寸長為48mm，寬為40mm，孔半徑為2.5mm（根據小孔概念的要求，寬徑比應大于等于8），符合無限大板小孔的要求。所選用鋪層的材料屬性為：E11＝139300Pa, E22＝8568Pa,G12=4968Pa,v12=0.3。在與整體分割出來的面上，如圖2所示的左側和下側，施加了對稱約束，在右側施加了1MPa的均布拉力。
[-page-]
選用Shell99單元，通過設置實常數確定復合材料的鋪層數，然后依次設定層厚和鋪層方向角。通過適當設置實常數，使所受均布載荷作用在面內并關于中面對稱，從而使板只有面內變形而無彎曲變形。孔邊和非孔邊采用不同的網格劃分方式，以便良好地控制劃分精度，提高結果的準確度。以下分別給出0°層、90°層、45°層和-45°層的x方向應力云圖。如圖3至圖6所示：
[-page-]
由圖3至圖6可以看出，0°層x方向大應力出現在90°附近，表現為拉應力；90°層x方向大應力出現在90°附近，表現為拉應力;45°層x方向大應力出現在60°附近，表現為壓應力；-45°層x方向大應力出現在65°附近，表現為拉應力。
由于篇幅的原因，0°層、90°層、45°層和-45°層的y方向云圖和xy方向應力云圖在此省略。為了更進一步定量分析各層中應力分布，特別是孔邊應力分布，在ANSYS中通過定義數組的方式，儲存各層在孔邊處各節點的應力，并輸出數組，取出相應的數值在極坐標下繪制成曲線圖，對比分析。（以下數值均來自于各層的中面，即節點偏置到各層中面時的計算結果。）如圖7至圖9所示：
[-page-]
觀察應力云圖圖3至圖6，并與圖7應力曲線圖對照分析可知，應力云圖和應力曲線圖的走勢完全一致?？傮w看來x方向應力在大概30°的位置，各層趨于一致，在0°到30°之間，-45°層和45°層表現為壓應力并逐漸減少，而0°層和90°層則呈現拉應力也表現為遞減趨勢，此時的應力數值均較??；跨過30°之后，90°層應力幾乎沒有變化，近似一條直線，而0°層應力變化較大，一直攀升，在90°處達到峰值；-45°層由壓應力轉變為拉應力并逐漸增大，[-page-] 在75°左右達到峰值，然后轉為下降趨勢；45°層由之前的上凸平滑過渡為下凹，壓應力先增后減直到變為拉應力，從總體上看和-45°層近似的關于直線對稱。綜合以上分析可知，主要由0°層承受拉應力，而所設計的層合板中0°層體積百分含量為50%，因此對于工程中薄板承受沿0°方向均布拉力的場合，這一設計滿足要求。
由圖8可知，總體看來Y方向應力在30°左右相交，0°層應力變化幅度較小，90°層應力呈上凸趨勢，由壓應力過渡為拉應力，在50°左右達到峰值，而后開始減小，-45°層和45°層應力曲線近似的關于某條直線對稱，形狀和x方向應力曲線十分相似。綜合以上分析可知，孔邊Y方向應力主要表現為壓應力，而且壓應力的大值出現在90°層，由于90°層Y方向彈性模量較大，因此能承受較大的壓應力，能滿足工程要求，不會對結構造成不利影響，這一設計良好地改善了應力在各鋪層中的分布。
由圖9可知，面內剪切力在30°左右相交，O°層和90°層面內剪切應力完全重合，-45°層在30°之前表現為正值并逐漸減小，45°層此時表現為負值并逐漸增大，過30°之后，二者數值不同但變化趨勢幾乎一致。綜合以上分析可知，面內剪切應力的大值出現在-45°層，而且表現為負值，由-45°層來承受該面內剪切應力是為合適的，因為該層纖維鋪向剛好處于與0°層成45°角位置，該方向的彈性模量達到大值。因此該設計能很好滿足結構的安全需要，提高安全系數。
4 結 論
通過以上結果對比分析，可得到以下兩點結論：
(1)層合板設計自由度較大，層合板面內模量會隨著不同鋪層角度的鋪層順序的改變和各鋪層體積含量的改變而變化，適當選擇變化量，可設計出具有獨特性能的層合板，用于工程中特殊場合的需要。本文在這一理論的指導下，設計出了工程中常用的一般,π/4層合板，用于工程中常用的薄板含孔結構，可有效降低孔邊應力集中；
(2)由圖中應力曲線的數值和變化趨勢可知，復合材料層合板在總體上優于正交各項異性單層板。通過一定的疊層設計之后，每一單層分別承擔了不同的受力要求，從而減輕了整體的負擔，這樣的設計在總體上有效改善了含孔結構的層合板孔邊應力場的分布。但是也存在一定的問題，對于復合材料層合板而言，由于它是由若干個單層板粘合在一起而形成的，而單向復合材料又是正交各向異性材料，層合板的各個鋪層的纖維排列方式不相同，可能導致因為受力作用所產生各鋪層的變形不一致，這就會產生很大的層間應力，對結構的安全不利。
1 引 言
工程結構中為了滿足各種需要，在零件或構件上會有一些孔洞存在。在載荷作用下孔邊會產生局部高應力區域，這種現象稱為應力集中。應力集中的產生削弱了零件整體的結構強度，工程中一般會通過增加孔周圍材料的厚度來彌補孔引起的強度削弱。這對于重量不敏感的結構來說是一種簡便有效的方法，但是對于飛行器來說，飛行器工程師們一直在為減輕每一千克質量而努力，很多孔結構本身就是為了減輕結構重量而存在的，因而依靠增加材料來提高結構強度的這種方法顯然是不適用的。
目前，根據國內外對復合材料的研究發現，通過合理布置分層材料的特性和合理設計鋪層方向角能有效減弱孔邊的應力集中。當今復合材料在航空航天領域得到越來越廣泛的應用，航空航天領域所應用的復合材料結構主要是層合板。層合板可設計性強，可制成多種結構形式，并可采用多種工藝方法成型。層合板設計主要包括選取合適的鋪層角，確定各鋪層角鋪層的百分比和鋪層順序三方面。綜合考慮這三方面因素的影響，本文設計出一種二十四層對稱鋪設含圓孔層合板，運用有限元法通過數值模擬計算得出孔邊的應力場分布，觀察各層應力分布，繪制相應的應力曲線，對比分析鋪層角度不同層上的應力，探討鋪層角對應力分布的影響。對以上結論作出綜合評價，探索一種具有現實指導價值的復合材料層合板帶孔結構的優化設計方案。
2 力學模型
本文選用的是ANSYS單元庫中自帶的Shell99單元來模仿復合材料的鋪層結構，該單元的幾何結構示意圖如下所示。
[-page-] 由圖可知，該單元是一種8節點3D殼單元，每個節點有6個自由度。允許設置小于250層的鋪層，主要適用于薄型到中等厚度的板和殼結構，一般要求寬厚比大于10。本文模型均滿足以上要求，因此選用該單元是正確的。
Shell99單元的形函數表述為將位移函數表示成節點位移的函數：
其中，Ni為節點插值函數：ui,vi,wi為節點位移;r為厚度坐標;ti為節點i處厚度；a、b為單位向量；θx,i、θy,i為節點i處的轉角；N為形函數，其矩陣形式為：
構造單元節點位移列陣：
則單元位移：
平面問題的幾何方程：
將式（4)代入式（5)得到單元應變：
[-page-] 其中，B為應變矩陣；L為平面問題的微分算子。
物理方程：
將式（6)代入式（7）得到單元應力：
其中，S為應力矩陣。
利用小位能原理建立有限元方程泛函總位能：
將式(4)和式(6)代入式（9）得到離散模型的總位能：
引入單元節點自由度和結構節點自由度的轉換矩陣G：
則：
令：
[-page-] 上式中，Ke為單元剛度矩陣；Pe為單元等效節點載荷列陣。
將以上各式代人式（10）可得：
令：
其中，K和P分別稱之為結構整體剛度矩陣和結構節點載荷列陣。
則式（11)變為：
根據變分原理，對泛函取駐值得：
即得到有限元的求解方程：
3 計算和結果分析
本文建立的有限元模型為如圖2所示的1/4板孔模型，所設計的二十四層對稱鋪設的層合板結構為：[45/02/-45/02/45/90/-45/02/45]s。每一鋪層的厚度為0.01mm。板的尺寸長為48mm，寬為40mm，孔半徑為2.5mm（根據小孔概念的要求，寬徑比應大于等于8），符合無限大板小孔的要求。所選用鋪層的材料屬性為：E11＝139300Pa, E22＝8568Pa,G12=4968Pa,v12=0.3。在與整體分割出來的面上，如圖2所示的左側和下側，施加了對稱約束，在右側施加了1MPa的均布拉力。
[-page-] 選用Shell99單元，通過設置實常數確定復合材料的鋪層數，然后依次設定層厚和鋪層方向角。通過適當設置實常數，使所受均布載荷作用在面內并關于中面對稱，從而使板只有面內變形而無彎曲變形。孔邊和非孔邊采用不同的網格劃分方式，以便良好地控制劃分精度，提高結果的準確度。以下分別給出0°層、90°層、45°層和-45°層的x方向應力云圖。如圖3至圖6所示：
[-page-] 由圖3至圖6可以看出，0°層x方向大應力出現在90°附近，表現為拉應力；90°層x方向大應力出現在90°附近，表現為拉應力;45°層x方向大應力出現在60°附近，表現為壓應力；-45°層x方向大應力出現在65°附近，表現為拉應力。
由于篇幅的原因，0°層、90°層、45°層和-45°層的y方向云圖和xy方向應力云圖在此省略。為了更進一步定量分析各層中應力分布，特別是孔邊應力分布，在ANSYS中通過定義數組的方式，儲存各層在孔邊處各節點的應力，并輸出數組，取出相應的數值在極坐標下繪制成曲線圖，對比分析。（以下數值均來自于各層的中面，即節點偏置到各層中面時的計算結果。）如圖7至圖9所示：
[-page-] 觀察應力云圖圖3至圖6，并與圖7應力曲線圖對照分析可知，應力云圖和應力曲線圖的走勢完全一致?？傮w看來x方向應力在大概30°的位置，各層趨于一致，在0°到30°之間，-45°層和45°層表現為壓應力并逐漸減少，而0°層和90°層則呈現拉應力也表現為遞減趨勢，此時的應力數值均較??；跨過30°之后，90°層應力幾乎沒有變化，近似一條直線，而0°層應力變化較大，一直攀升，在90°處達到峰值；-45°層由壓應力轉變為拉應力并逐漸增大，[-page-] 在75°左右達到峰值，然后轉為下降趨勢；45°層由之前的上凸平滑過渡為下凹，壓應力先增后減直到變為拉應力，從總體上看和-45°層近似的關于直線對稱。綜合以上分析可知，主要由0°層承受拉應力，而所設計的層合板中0°層體積百分含量為50%，因此對于工程中薄板承受沿0°方向均布拉力的場合，這一設計滿足要求。
由圖8可知，總體看來Y方向應力在30°左右相交，0°層應力變化幅度較小，90°層應力呈上凸趨勢，由壓應力過渡為拉應力，在50°左右達到峰值，而后開始減小，-45°層和45°層應力曲線近似的關于某條直線對稱，形狀和x方向應力曲線十分相似。綜合以上分析可知，孔邊Y方向應力主要表現為壓應力，而且壓應力的大值出現在90°層，由于90°層Y方向彈性模量較大，因此能承受較大的壓應力，能滿足工程要求，不會對結構造成不利影響，這一設計良好地改善了應力在各鋪層中的分布。
由圖9可知，面內剪切力在30°左右相交，O°層和90°層面內剪切應力完全重合，-45°層在30°之前表現為正值并逐漸減小，45°層此時表現為負值并逐漸增大，過30°之后，二者數值不同但變化趨勢幾乎一致。綜合以上分析可知，面內剪切應力的大值出現在-45°層，而且表現為負值，由-45°層來承受該面內剪切應力是為合適的，因為該層纖維鋪向剛好處于與0°層成45°角位置，該方向的彈性模量達到大值。因此該設計能很好滿足結構的安全需要，提高安全系數。
4 結 論
通過以上結果對比分析，可得到以下兩點結論：
(1)層合板設計自由度較大，層合板面內模量會隨著不同鋪層角度的鋪層順序的改變和各鋪層體積含量的改變而變化，適當選擇變化量，可設計出具有獨特性能的層合板，用于工程中特殊場合的需要。本文在這一理論的指導下，設計出了工程中常用的一般,π/4層合板，用于工程中常用的薄板含孔結構，可有效降低孔邊應力集中；
(2)由圖中應力曲線的數值和變化趨勢可知，復合材料層合板在總體上優于正交各項異性單層板。通過一定的疊層設計之后，每一單層分別承擔了不同的受力要求，從而減輕了整體的負擔，這樣的設計在總體上有效改善了含孔結構的層合板孔邊應力場的分布。但是也存在一定的問題，對于復合材料層合板而言，由于它是由若干個單層板粘合在一起而形成的，而單向復合材料又是正交各向異性材料，層合板的各個鋪層的纖維排列方式不相同，可能導致因為受力作用所產生各鋪層的變形不一致，這就會產生很大的層間應力，對結構的安全不利。
