1 引言
    纏繞是連續纖維增強復合材料制品的一種常用制造方法。纖維纏繞的管件作為結構件使用時主要用于航空航天、體育器材、交通運輸及建筑等行業。在工業機器人行業及工業設備的活動構件中，過去一直用鋁管和鋼管的部位,如今逐漸被高性能的碳纖維纏繞管件所代替。碳纖維纏繞的管件作為結構件使用時主要承受拉、剪、彎、扭等載荷，因此有必要對這樣載荷作用下管件的變形情況進行分析研究。已有一些關于纖維纏繞復合材料管件研究的文獻，如纏繞圖形及纖維波動率對纖維纏繞管件損傷行為的影響^[1]，柱形殼體在加工過程中誘發的翹曲^[2]，纖維鋪放順序及纏繞工藝對制件的結構及性能的影響^[3~9]，纏繞角對殘余應力的影響^[10]，纖維纏繞管件的微觀和宏觀力學行為^[11~13]，纖維纏繞制件的非線性分析^[14,15]，纖維纏繞管在各種載荷作用下的強度^[16]及一些數值或解析計算模型^[17~20]等。Yuan在文獻^[17]中給出了纖維纏繞復合材料層合柱面殼體承受彎曲載荷時彈性應力應變的精確解?；跉んw材料的柱面各向異性和Lekhnitskii的應力函數，他推導出了偶合的偏微分本構方程，但筆者認為其本構方程復雜，不太適于工程應用。Kim和White在文獻^[18,19]政中給出了適合于不同截面的薄壁和厚壁復合材料梁在各種靜載下的變形計算理論，該理論考慮了橫向剪切應變、扭轉翹曲及三維彈性效應，此方法比較直觀、簡便，易于工程應用。
    本文考慮纖維纏繞成形的特點,從纏繞的制造參數開始到管元在拉彎扭作用下的變形及應力應變關系,可得到在不同載荷作用下梁的變形情況,比較適合與工程中編程計算。第2部分給出不同纏繞角管件壁厚的計算方法;第3部分根據纏繞管件具有周向均勻彈性模量的特點,給出管件在拉、彎、扭載荷作用下的管壁元分析模型；第4部分將管壁厚的理論值與實驗值或數值實驗值作了對比，實驗結果與計算結果基本吻合。
2 纏繞制件的厚度分析計算
    管形纏繞制件一般是在一個外徑與管件內徑一致的芯模上纏繞制成的。以纖維束纏繞管件的螺旋升角φ(纏繞角)分類，一般有三種纏繞方式，0°纏繞(即導程很小的纏繞方式，也稱環向纏繞)、90°纏繞(纖維束與軸線平行，纏繞時需特殊裝備)和對稱角纏繞(纏繞角介與0°和90°之間的具有±φ纏繞角的纏繞方式)。這三種纏繞方式的纏繞層厚可由纏繞參數和芯模及干纖維束的截面尺寸求出。以濕法纏繞為例，如芯模的外徑為D_i(也即管的內徑)、纖維的軸向鋪設長度為L、鋪設小車在一個行程中芯模轉過的圈數為N_t，則纏繞角φ為：

       
    假設纖維束沿軸向的截面積不變，則纖維束體積含量υ_f為：

     
    如果由纖維鋪設形成的管外徑為D_o，則管壁厚t為：

       
    由式(3)可知,只要求出管壁外徑即可計算管壁厚。下面根據幾何特點分三種纏繞方式分別給出外徑計算式。
2.1 90°纏繞 [-page-] 
    假設干纖維束的截面積為S_f，纖維束在芯模周向的鋪設數為N_p，則管的橫截面積S及管的外徑D_o分別為：

             
2.2 對稱角(±φ)纏繞
    對稱角纏繞時，由于纖維束傾斜于軸線一個φ角，則管的橫截面積S為：

           
2.3 0°纏繞
    根據0°纏繞的幾何特點可直接求出管外徑D_o：

          
    如果管件的纖維是上述三種方式的組合，由上述各式也很容易算出各鋪層厚，再組合即可求得出管壁厚。
    由纖維束和基體的彈性參數及纖維體積含量和纏繞角即計算出各層的正軸彈性模量和偏軸彈性模量，之后便可進行各項力學分析。
3 管壁元分析模型
3.1 管件的基本描述
    所分析的管件如圖1所示,長為ι,壁厚為t，管壁中徑為2r。這里,根據文獻[19]政將厚壁管件定為t/2r≥0.1。在本文分析中，管件的全局直角坐標系(X,Y,Z)、管壁元的局部直角坐標系(x_j,y_j,z)和局部曲線坐標系(ξ,η,z)用作分析的參考坐標系(參見圖1及圖2)。
    在下面的分析中，先將管件分成m個管壁元，它們的位移、應力、應變在局部曲線坐標系(ξ,η,z)下進行分析，然后轉換到局部直角坐標系(x_j,y_j,z)中，再轉換到全局坐標系(X,Y,Z)中，并在全局坐標系中進行積分整合。

         
3.2 管壁元在局部曲線坐標系中的基本方程
    對纏繞成形的管，由于其成形工藝特點，管件具有周向均勻彈性模量。這樣，從圖1所示的管壁上取出一具有層合結構的管壁元j,它的第i層在曲線坐標系下因彎曲及扭轉所產生的位移可表示為：

            
    其中，u_ξ、υ_η和w_z分別為管壁元在ξ、η和z向的位移；u_ξo(z)、υ_ηo(z)和w_o(z)分別為管壁元沿ξ、η和z軸向的剛體位移；ф_ξ(z)、ф_η(z)為繞η和ξ軸的轉角；θ(z)為繞z軸的扭轉角。與位移相關的管壁元的應變為：

                     
    其中，“＇”代表位移對Z的偏導（后同）。
    對一層合的管壁元第i個正交各向異性層片的本構方程為：

                 
    其中，{σ_i}和{ε_i}為應力和應變列陣，其元素分別為σ_zz、σ_ξξ、σ_ηη、т_ξη、т_2η、т_zξ和ε_zz、ε_ξξ、ε_ηηγ_ξη、γ_zη、γ_zξ；[Q]_i為偏軸剛度矩陣。 [-page-] 
    復合材料各向異性的特性可使管壁元有三維的彈性行為。根據Kim和White^[19]的分析，式(10)中管壁元橫截面內沿（軸和沿（軸的正應力σ_ξξ、σ_ηη以及面內剪應т_ξη在沒有內外壓力的情況下與其余的應力相比小得可以忽略不計，即設為0，但由其它幾項應力分量誘發的相應應變仍保留，這樣可將(10)式可整理為：

         
    其中,C₁₁、C₁₂、C₂₂、C₃₃是由偏軸剛矩陣[Q]_i的元素組成，限于篇幅不在此列出。
    管壁元j橫截面在曲線坐標下的合力和合力矩為：

           
    其中,F_z(z)為z軸軸向力：Q_ξ(z)和Q_η(z)分別為ξ,，η方向的剪切力；T_z(z),M_ξ(z)和M_η(z)分別為對z、ξ和η軸的矩，b_j和t分別為第j個管壁元沿周向的寬度和徑向的厚度。
    將公式(9)、(11)和(12)聯立，則第j個管壁元在曲線坐標中的基本方程為：

              
    其中,{F}_ξηj、{δ}_ζηj分別為載荷列陣和位移列陣；[K]_ζnj為管壁元j的有效剛度矩陣。
3.3 管壁元在局部直角坐標系中的基本方程
    將力和位移轉換到局部直角坐標系(x_j,y_j,z)中為：

           
    其中,{F}_xyj和{δ}_xyj分別為局部直角坐標系中的力和位移列陣；[T]為轉換矩陣,轉換角為a_j(參見圖2)。這樣，就有：

          
3.4 管件上的力和位移在全局坐標中的關系
    在全局坐標中(參見圖2)，第j個管壁元的力和力矩組成的列陣{F}_i為：

            
    由于纏繞的圓管具有周向均勻彈性模量的特點，沒有翹曲，因此可認為局部作標系的z軸與全局作標系的Z軸總是平行，這樣在后面的公式中將認為Z＝z，這樣點(x_j,y_j,z)在全局坐標系中的位移為：

             
    式中，函數w_z，u，和υ分別為點j在Z,X和Y方向的位移。注意到纖維纏繞管的周向均勻彈性模量的特性,u等于管壁元在局部直角坐標系(x_j,y_j,z)沿x_j軸的位移u_xj,υ等于管壁元在局部直角坐標系沿y_j軸的位移υ_yj,函數w_o，u_o和υ_o分別為剛體沿Z,X和Y向的平移，而ф_Y和ф_X分別為管壁元橫截面繞X和Y軸的轉角，他們分別等于ф_yj和ф_xj(ф_yj和ф_xj分別為管壁元在局部直角坐標系中繞y和x軸的轉角，也是式(15)中的位移元素)；θ為管壁元橫截面繞Z軸的扭轉角，其大小等于管壁元繞z的扭轉角。
    對z求導并略去二階導數，可得管橫截面的以下公式： [-page-]

         
    基于公式（24）并考慮適當的邊界條件，復合材料管件在一定載荷下的變形便可求得。之后，變形轉換到局部曲線坐標，應用式(9)的便可求得應變。
4 數值結果和實驗結果
4.1 管壁厚度實驗及計算結果
    試件由T700/24K碳纖維束浸蘸環氧樹脂纏在芯模上，再經固化、拔模、切制而成，試件由Compo-tech公司提供。芯模直徑為26mm，長為1350mm,纖維在芯模周向的等分數N_p為50，一個鋪設行程中芯模轉過的圈數N_t為一個變化數，以便纏繞出不同纏繞角的管件。本次實驗分別使N_t為不同值，纏繞出10個角度的管件，每一個纏繞角有3根，這樣一共有30根管件。將這30根管件的兩端修整成1200mm的管件，每根再等分成3根試件。分別在試件的三個位置量取內外管徑，并由此統計出管壁厚的平均值，詳見表1。管件的纖維體積含量為55％。

          
    由表1可見，理論計算值與實測值之間雖有一定的相關性，但也還存在著誤差。誤差可能會由固化過程中的管件收縮、制造誤差、測量誤差等多種因素引起。
4.2 懸臂支承管在載荷作用下的變形
    為了檢驗第3部分中所提分析模型的正確性,這里采用材料T300/5208及相應尺寸的管件，以懸臂方式固定，并在自由端加載，計算其自由端的變形值。理論計算結果與文獻[19]中引入的實驗數有限元分析結果進行了比較。T300/5208復合材料的力學性能為E₁₁＝146.85GPa，E₂₂＝E₃₃＝11.03GPa，G₁₂＝G₁₃＝6.21GPa,G₂₃＝3.86GPa,υ₁₂＝υ₁₃＝0.28，υ₂₃＝0.5。管件的幾何參數見表2。

         
    表2中，薄壁管件采用兩種鋪層結構，一種是[(+20/-70)₂]_s，另一種是[(＋40/＋50)₂]_s。計算結果顯示它們在拉伸載荷N及扭矩T作用下變形都與Kim&White理論的計算結果及文獻[19]引用的Nixon實驗數據相吻合(參見圖3與圖4)。

        
    對鋪層方式為[＋20₃₀/-70₃₀]_s的厚壁管，以三種載荷形式加載，由本文提出管壁元分析模型所計算的加載后的變形與有限元計算結果列于表3。有限元計算采用Ansys中的三維帶層的有限元Solid46，管周向32個單元，徑向4個單元，軸向40個單元，共計5120個單元，6560節點。管件懸臂支承，并分別以三種方式加載并計算自由端的位移：①在管的自由端加T=1kNm扭矩，加載后計算自由端端面扭轉角及沿管軸向的伸長w；②在管的自由端加F_z=250kN的拉伸載荷，加載后計算自由端面扭轉角及沿管軸向的伸長w;③在管的自由端加Q_y＝4.5kN的橫向剪切力，并計算管自由端沿剪切力方向位移υ。計算結果列于表3，其中Load1、Load2、Load3分別為第①、②、③種加載方式，cal1、cal2分別表示用管壁元模型和用有限元計算的結果，erro為兩者的相對誤差。

                 
    從表3可以看出，本文提出的管壁元分析模型計算結果與三維有限元分析結果相比有些誤差，但不大。
5 結論
    (1)本文根據管狀纖維纏繞制件的成形特點，以干纖維束橫截面積、纖維體積含量、芯模尺寸及一個鋪設行程中芯模轉過的圈數為基本參數，給出了具有不同纏繞角管壁厚的計算方法；
    (2)根據纏繞管件具有周向均勻彈性模量的特點，將管件化分為管壁元，對其進行位移、應變、應力分析，從而提出一種纖維纏繞復合材料管在拉伸、剪切及彎扭載荷作用下的分析模型；
    (3)將管壁厚計算方法和管壁元分析模型用于計算管件，并將理論計算結果與可得到的實驗結果和有限元數值計算結果進行了對比，理論計算結果與實驗結果均有較好的一致性。
    由文中提出的管壁厚計算方法可以從制造參數開始計算管壁厚,之后用管壁元分析模型對成型管件在拉伸、剪切及彎扭載荷作用下進行分析計算。特別在管壁元計算方法中主要使用矩陣，這非常利于編程計算，可節省設計和計算時間，因此非常適合于工程應用。
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